在《汤姆·索亚历险记》中，与“夸张地宣扬”相关的词语主要有以下两个：

吹嘘

该词直接对应“夸张地宣扬”的含义，指汤姆在历险后向众人夸大其词，描述自己的经历时使用夸张手法。例如：“他躺在沙发上，尽管身体虚弱，却眉飞色舞地吹嘘自己的‘英雄事迹’”。

滔滔不绝

虽然该词本身不直接等同于“夸张”，但常与“吹嘘”搭配使用，形容汤姆讲述经历时话语连绵不断，强化其夸张表达的效果。例如：“他‘滔滔不绝’地描述着山洞中的奇遇，仿佛要把整个过程都复制给听众”。

总结：

最直接的关联词为“吹嘘”，而“滔滔不绝”则常用于描述其夸张表达的情景。