将有理分式化成部分分式是数学分析中常见的操作，主要用于简化积分计算。以下是具体方法及步骤：

一、基本方法与步骤

确定分式类型

- 若分子次数低于分母，则为真分式，可进一步分解为部分分式之和。

- 若分子次数高于分母，需通过多项式除法将其化为多项式与真分式的和。

分母因式分解

将分母分解为不可约因式的乘积，例如 $（x-a）（x^2+bx+c）$。

设部分分式形式

根据分母的因式形式设定部分分式：

- 线性因式 $（x-a）$ 对应 $\frac{A}{x-a}$；

- 重根 $（x-a）^k$ 对应 $\frac{A_1}{x-a} + \frac{A_2}{（x-a）^2} + \cdots + \frac{A_k}{（x-a）^k}$；

- 不可约二次因式 $（ax^2+bx+c）$ 对应 $\frac{Bx+C}{ax^2+bx+c}$。

确定待定系数

通过通分后比较分子系数或利用特殊值法（如令分母为零）求解待定系数。

二、特殊方法

极限法

若 $z_0$ 是 $Q（z）$ 的单实根，则 $\frac{P（z）}{Q（z）} = \frac{A}{z-z_0} + R（z）$，通过极限 $\lim_{z \to z_0} （z-z_0）\frac{P（z）}{Q（z）} = A$ 求解 $A$，再比较系数确定 $R（z）$。

导数法

对 $\frac{P（z）}{Q（z）} = \frac{A}{x-a} + R（z）$ 两边求导，利用 $Q'（z_0） \neq 0$ 消去 $R（z）$ 中的高阶导数，简化计算。

MATLAB工具

使用 `residue` 函数直接获取部分分式展开式中的留数、极点和余项，适用于复杂分母的快速计算。

三、示例

分解 $\frac{2x^2+3x-1}{x^2-x}$：

1. 分母因式分解：$x^2-x = x（x-1）$；

2. 设部分分式：$\frac{2x^2+3x-1}{x（x-1）} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-1}$；

3. 通分后比较系数：$A（x-1） + Bx = 2x^2 + 3x - 1$，解得 $A = -1, B = 3$；

4. 最终结果：$\frac{2x^2+3x-1}{x（x-1）} = -\frac{1}{x} + \frac{3}{x-1}$。

四、注意事项

重根处理：

对于重根 $（x-a）^k$，需设 $\frac{A_1}{x-a} + \frac{A_2}{（x-a）^2} + \cdots + \frac{A_k}{（x-a）^k}$ 并求解。

复根配对：复数根应成对出现，例如 $（x^2+1）$ 对应 $\frac{Bx+C}{x^2+1}$，其中 $B$ 和 $C$ 由共轭复根确定。

通过以上方法，可将复杂有理分式分解为较简单的部分分式之和，便于后续积分计算。