将有理真分式分解为部分分式是数学分析中常见的操作，主要用于积分计算。以下是详细的分解方法及步骤：

一、基本方法

待定系数法

- 步骤：

1. 将分母$P（x）$分解为不可约因式的乘积，例如$P（x）=（x-a）（x^2+bx+c）$。 2. 根据部分分式分解定理，设$\frac{Q（x）}{P（x）} = \frac{A_1}{x-a} + \frac{A_2}{x^2+bx+c} + \cdots$，其中$A_i$为待定系数。 3. 通过通分后比较分子对应项的系数，建立线性方程组求解$A_i$。

带余除法

- 适用于分母为多项式幂次的情况，例如$Q（x）/P（x）^k$。通过多项式除法将$Q（x）$表示为$Q（x）=a_kP（x）^k + R（x）$，其中$R（x）$为余式且次数小于$P（x）$，再对余式进行部分分式分解。

辗转相除法（欧几里得算法）

- 用于分解分母为两个多项式乘积的情况，通过反复除法找到最大公因式，再分别对因式进行部分分式分解。

二、特殊情形处理

分母含二次不可约因式

- 对于形如$\frac{Q（x）}{（x^2+bx+c）}$的因式，设其部分分式为$\frac{Ax+B}{x^2+bx+c}$，通过代入特定值（如根或共轭复数）确定系数。

分母含重根

- 若分母有重根（如$（x-a）^n$），部分分式形式为$\frac{A_1}{x-a} + \frac{A_2}{（x-a）^2} + \cdots + \frac{A_n}{（x-a）^n}$，需通过代入导数信息简化计算。

三、注意事项

多项式互素性：

若分母多项式互素，则分解唯一。

计算优化：部分特殊分式（如分母为二次不可约因式）可通过代入根或共轭复数快速确定系数，减少方程组求解的复杂度。

四、示例

分解$\frac{3x+2}{（x-1）（x^2+4）}$：

1. 设$\frac{3x+2}{（x-1）（x^2+4）} = \frac{A}{x-1} + \frac{Bx+C}{x^2+4}$；

2. 通分后比较系数，建立方程组：

$$A(x^2+4) + (Bx+C)(x-1) = 3x+2$$

通过代入$x=1$得$5A=5$，解得$A=1$；

比较$x^2$系数得$B=0$，再比较常数项得$3A-C=2$，解得$C=1$；

3. 最终分解为$\frac{1}{x-1} + \frac{1}{x^2+4}$。

通过以上方法，可将任意既约有理真分式分解为部分分式之和，为后续积分计算奠定基础。