分庭抗礼的成语故事如下：

有一天，孔子带着学生在河边游玩，碰见一位见解很深刻的渔翁。孔子虔诚地向他求教，并表示自己已经六十九岁，还没有听到高深的教诲，希望渔翁能收自己为徒。渔翁被孔子的诚心所感动，就讲了一大套有关政治哲学及人生修养等方面的道理，孔子深感佩服，要求渔翁收自己为徒。然而，渔翁拒绝了孔子的请求，他走后，几个学生请孔子上车，孔子却呆呆地望着渐渐远去的船，一动不动。

一个学生实在不平，忍不住说道：“先生今天真是太过分了，连那些拥有万乘战车的天子、千乘战车的诸侯，您都和他们平起平坐，可是却对一个渔翁这样毕恭毕敬。”孔子解释说：“渔夫虽不是国君，但他是一位长者、贤士，是应当恭敬对待的。”

这个故事讲述了孔子与渔翁之间的一段小故事，通过这个小故事，孔子向学生们阐述了尊重他人的重要性，即使对方身份地位不如自己，也应该以平等的态度对待。因此，“分庭抗礼”这个成语原本指宾主相见，分站在庭的两边，相对行礼，现比喻平起平坐，彼此对等的关系。