根据搜索结果，表达“牢牢的巩固和加深”这一含义的成语主要有以下两个：

根深蒂固

- 含义：

比喻基础稳固，不容易动摇，强调根基的牢固性。 - 出处：《晋书·伏韬传》。

固本培元

- 含义：

巩固基础并培养根本，强调从根源上加强和稳固。 - 出处：《汉书·董仲舒传》。

其他相关成语：

深根固本：与“根深蒂固”同义，强调根基的深厚与稳固。- 安如泰山：比喻极其稳固，不可动摇。以上成语均适用于形容基础、根基的巩固与加强，可根据具体语境选择使用。