银行司机能否转正需分情况讨论，主要取决于派遣公司与银行的具体安排：

派遣制司机普遍无转正机会

多数银行司机由第三方派遣公司派遣，与银行无直接劳动关系，仅与派遣方签订合同。这类员工通常不具备转正资格。

部分银行提供转正可能

若派遣司机表现优异，通过考核（如业绩、工作态度等），可能获得转正机会，成为银行正式员工。但此类案例较少见，且需满足银行特定条件。

转正后的待遇与晋升

转正后薪资待遇和晋升机会与正式员工相当，但需注意不同银行政策差异较大，建议提前咨询具体单位。

总结：

银行司机转正存在较大不确定性，主要取决于派遣公司与银行的合作模式及个人表现。建议通过正规渠道了解目标银行的具体政策。