“一筹莫展”是正确的写法，而“一愁莫展”是错误的写法。以下是具体分析：

一、正确写法解析

词语含义

“一筹莫展”指一点计策也施展不出，一点办法也想不出来，常用于形容遇到难题束手无策的状态。

字词解析

- 筹：

原指古代用于计算的算筹，引申为计策、办法。

- 展：意为施展、展开。

成语出处

该成语出自《宋史·蔡幼学传》：“其极至于九重深拱而群臣尽废，多士盈庭而一筹不吐。”。

二、错误写法辨析

“一愁莫展”中的“愁”字使用不当：

语义偏差：

“愁”指情绪上的忧愁，与“筹”（计策）无关，属于现代人误写。

形象误用：即使将“愁”改为“筹”，“一愁莫展”仍无法形成合理的语义关联，不符合汉语表达习惯。

三、近义词与反义词

近义词：束手无策、束手待毙。

反义词：神通广大、大显身手、大显神通。

四、使用建议

在写作和口语中应使用“一筹莫展”，遇到类似结构成语时可通过字典确认生僻字词的正确性。